Точка и линия: Василий Кандинский. ТОЧКА И ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Разное55. Точка и линия на поверхности 8. Поверхности
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про точка, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое точка,линия на поверхности , настоятельно рекомендую прочитать все из категории 8. Поверхности
В общем случае линия может принадлежать поверхности или не принадлежать. Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности (см. рис. 103, линия l). Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности (см. § 49). Задачи построения линий, принадлежащих поверхности, входят составной частью в задачи построения линий пересечения поверхностей плоскостью и пересечения двух поверхностей, которые рассматриваются в §§ 63, 64.
Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии . Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Задачи такого типа рассматриваются в § 63.
точка может принадлежать поверхности и не принадлежать. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, расположенной на этой поверхности. На рис. 104, в точка М принадлежит сферической поверхности, так как она находится на линии окружности /г’, лежащей на этой поверхности. Точки А и В тоже принадлежат сферической поверхности, так как они расположены на линиях очерковых окружностей, принадлежащих сферической поверхности. Примеры принадлежности точки поверхности можно привести и в случае наличия конической поверхности (точка М на рис. 104, а),поверхности тора (точка М на рис. 105) и поверхности более сложной формы (точка М на рис. 103).
Задача определения принадлежности точки поверхности решается следующим способом. Если заданы проекции элементов поверхности и точки, необходимо на одной из плоскостей проекций через заданную точку провести линию, принадлежащую поверхности, и построить проекцию этой линии на одной плоскости проекций. Если вторая проекция пройдет через вторую проекцию точки — точка принадлежит поверхности, если не пройдет — не принадлежит.
Эту задачу можно рассмотреть на примере рис. 104, а. На комплексном чертеже задана коническая поверхность очерковыми линиями. Задана также точкаМ горизонтальной и фронтальной проекций. Через горизонтальную проекцию точки проведем горизонтальную проекцию
Данная задача может быть решена и другим путем. При тех же исходных данных через фронтальную проекцию М1 точки проводим проекцию одной из образующих f Построив горизонтальную проекцию h образующей, убеждаемся, что она прошла через горизонтальную проекцию М1 точки М, и это позволяет сделать вывод о том, что точка М принадлежит конической поверхности.
Принципы построения точек и линий на поверхностях положены в основу построения линий пересечения, срезов, вырезов, проницаний и др., что определяет построение сложных геометрических тел, и в итоге — деталей, узлов, машин, зданий, сооружений.
Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про точка Надеюсь, что теперь ты понял что такое точка,линия на поверхности и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу.
Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории 8. ПоверхностиВ. Кандинский «Точка и линия на плоскости» (1)
К анализу живописных элементов
Перевод с немецкого Елены Козиной
ПРЕДИСЛОВИЕ
Кажется небезынтересным отметить, что мысли, изложенные в этой небольшой книге, являются органичным продолжением моей работы «О духовном в искусстве». Я должен продвигаться в избранном однажды направлении.
В начале мировой войны я провел три месяца в Гольдахе на Бодензее и почти полностью отдал это время систематизации моих теоретических, часто еще не вполне определенных, мыслей и практического опыта. Так образовался довольно большой теоретический материал.
Этот материал почти десять лет лежал нетронутым, и лишь недавно я получил возможность для дальнейших занятий, пробой которых и является эта книга.
Намеренно узко поставленные вопросы зарождающейся науки об искусстве в своем последовательном развитии выходят за пределы живописи и, в конце концов, – искусства как такового. Здесь я пытаюсь обозначить лишь некоторые направления пути – аналитический метод, помнящий о синтетических ценностях.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Темп времени после 1914 года, кажется, все более нарастает. Внутреннее напряжение ускоряет этот темп во всех известных нам сферах. Быть может, один год соответствует не менее чем десяти годам «спокойной», «нормальной» поры.
Так можно считать за десятилетие и тот год, что прошел с момента появления первого издания этой книги. Дальнейшее продвижение аналитической и связанной с ней синтетической позиции в теории и практике не только одной живописи, но и других искусств и, одновременно, в «позитивных» и «духовных» науках подтверждает верность принципа, лежащего в основе этой книги.
Дальнейшая разработка этого труда сейчас может происходить только путем умножения частных случаев или примеров и приведет лишь к увеличению объема, от чего я здесь вынужден отказаться из практических соображений.
Так я решился оставить второе издание без изменений.
ВВЕДЕНИЕ
ВНЕШНЕЕ – ВНУТРЕННЕЕ
Всякое явление можно пережить двумя способами. Эти два способа не произвольны, а связаны с самими явлениями – они исходят из природы явления, из двух свойств одного и того же:
Внешнего – Внутреннего.
Улицу можно наблюдать сквозь оконное стекло, при этом ее звуки ослабляются, ее движения превращаются в фантомы, и сама она сквозь прозрачное, но прочное и твердое стекло представляется отстраненным явлением, пульсирующим в «потустороннем».
Или открывается дверь: из ограждения выходишь вовне, погружаешься в это явление, активно действуешь в нем и переживаешь эту пульсацию во всей ее полноте. Меняющиеся в этом процессе градации тона и частоты звуков обвивают человека, вихреобразно возносятся и, внезапно обессилев, вяло опадают. Движения точно так же обвиваются вокруг человека – игра горизонтальных, вертикальных штрихов и линий, устремленных в движении в различных направлениях, сгущающихся и распадающихся цветовых пятен, звучащих то высоко, то низко.
Произведение искусства отражается на поверхности сознания. Оно лежит «по ту сторону» и с утратой влечения [к нему] бесследно исчезает с поверхности. И здесь тоже есть некое прозрачное, но прочное и твердое стекло, которое делает невозможной непосредственную внутреннюю связь. И здесь существует возможность войти в произведение, действовать в нем активно и переживать его пульсацию во всей ее полноте.
АНАЛИЗ
Анализ художественных элементов, помимо своей научной ценности, связанной с точной оценкой элементов в отдельности, перекидывает мост к внутренней пульсации произведения.
Бытующее до сего дня утверждение, что «разлагать» искусство опасно, поскольку это «разложение» неизбежно приведет к смерти искусства, происходит из незнания, занижающего ценность освобожденных элементов и их первородной силы.
ЖИВОПИСЬ И ДРУГИЕ ИСКУССТВА
Относительно аналитических опытов живопись странным образом заняла в ряду других искусств особое положение. К примеру, архитектура, по своей природе связанная с практическими функциями, изначально предполагает определенную сумму научных знаний. Музыка, не имеющая практического назначения (за исключением марша и танца), по сей день единственная пригодная [для создания] абстрактного произведения, давно имеет свою теорию, науку, вероятно, несколько одностороннюю, однако находящуюся в постоянном развитии. Таким образом, оба эти искусства-антиподы располагают научной базой, не вызывая никаких возражений.
И если другие искусства в этом отношении так или иначе отстали, то степень этого отрыва обусловлена мерой развитости каждого из искусств.
ТЕОРИЯ
Непосредственно живопись, которая в течение последних десятилетий сделала действительно фантастический рывок вперед, но лишь совсем недавно освободилась от своего «практического» назначения и некоторых форм былого употребления, поднялась на тот уровень, который неизбежно требует точной, чисто научной оценки ее художественных средств в соответствии с ее художественными задачами. Без подобной проверки невозможны следующие шаги в этом направлении – ни для художника, ни для «публики».
ПРЕЖНИЕ ВРЕМЕНА
Можно с полной уверенностью утверждать, что живопись не всегда была столь беспомощна в этом отношении, как сейчас, что определенные теоретические знания были подчинены не только чисто техническим задачам, что для начинающих была обязательна некая сумма представлений о композиции и что некоторые сведения об элементах, их сущности и применении были широко известны художникам 1.
Исключая сугубо технические рецепты (грунт, связующие и т.д.), которые тоже, впрочем, появились в большом объеме едва ли двадцать лет назад и особенно в Германии оказали определенное влияние на развитие колорита, почти ничто из прежних знаний – высокоразвитой, быть может, науки – не дошло до нашего времени. Поразительный факт, что импрессионисты в своей борьбе, против «академического» уничтожили последние следы живописной теории и сами же, вопреки собственному утверждению: «природа есть единственная теория для искусства», – немедленно, пусть и неосознанно, заложили первый камень в основание новой художественной науки 2.
ИСТОРИЯ ИСКУССТВА
Одной из важнейших задач зарождающейся сейчас науки об искусстве должен стать детальный анализ всей истории искусства на предмет художественных элементов, конструкции и композиции в разные времена у разных народов, с одной стороны, а с другой – выявление роста в этих трех сферах: пути, темпа, потребности в обогащении в процессе скачкообразного, вероятно, развития, которое протекает, следуя неким эволюционным линиям, быть может – волнообразным. Первая часть этой задачи – анализ – граничит с задачами «позитивных» наук. Вторая часть – характер развития – граничит с задачами философии. Здесь завязывается узел общих закономерностей человеческой эволюции.
«РАЗЛОЖЕНИЕ»
Попутно необходимо заметить, что извлечение этих забытых знаний предшествующих художественных эпох достижимо лишь ценой большого напряжения и, таким образом, должно полностью устранить боязнь «разложения» искусства. Ведь если «мертвые» учения коренятся так глубоко в живых произведениях, что лишь с величайшим трудом могут быть извлечены на свет, то их «вредоносность» – не что иное, как страх неведения.
ДВЕ ЦЕЛИ
Исследования, которые должны стать краеугольным камнем новой науки – науки об искусстве, – имеют две цели и отвечают двум необходимостям:
1. необходимость в науке вообще, свободно произрастающей из не- и вне-целесообразного стремления знать: «чистая» наука и
2. необходимость равновесия творческих сил, которые могут быть схематически подразделены на две составные – интуиция и расчет: «практическая» наука.
Эти исследования, поскольку мы стоим сегодня у их истока, поскольку они представляются нам отсюда расходящимся во все стороны и растворяющимся в туманной дали лабиринтом и поскольку мы абсолютно не в состоянии проследить их дальнейшее развитие, должны производиться чрезвычайно систематично, на основании ясного плана.
ЭЛЕМЕНТЫ
Первый неизбежный вопрос – это, естественно, вопрос о художественных элементах, которые являются строительным материалом произведения и которые, таким образом, в каждом из искусств должны быть иными.
В первую очередь необходимо различать среди прочих основные элементы, то есть элементы, без которых произведение отдельно взятого вида искусства вообще не может состояться.
Все остальные элементы необходимо обозначить как вторичные.
В обоих случаях необходимо введение органичной системы градации.
В этом сочинении речь пойдет о двух основных элементах, которые стоят у истока любого произведения живописи, без которых произведение не может быть начато и которые одновременно представляют достаточный материал для самостоятельного вида живописи – графики.
Итак, необходимо начать с первоэлемента живописи – с точки.
ПУТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
Идеалом любого исследования является:
1. педантичное изучение каждого отдельного явления – изолированно,
2. взаимное влияние явлений друг на друга – сопоставления,
3. общие выводы, которые можно извлечь из обоих предшествующих.
Моя цель в этом сочинении простирается только на два первых этапа. Для третьего недостает материала, и с ним ни в коем случае не следует спешить.
Исследование должно проходить предельно точно, с педантичной тщательностью. Этот «скучный» путь должен быть пройден шаг за шагом, – ни малейшего изменения в сущности, в свойстве, в действии отдельных элементов не должно ускользнуть от внимательного взгляда. Только такой путь микроскопического анализа может привести науку об искусстве к обобщающему синтезу, который в итоге распространится далеко за пределы искусства в сферы «всеобщего», «человеческого» и «божественного».
И это обозримая цель, хотя она еще очень далека от «сего дня».
ЗАДАЧА ЭТОГО СОЧИНЕНИЯ
Что касается непосредственно моей задачи, то недостает не только собственных сил, чтобы предпринять хотя бы первоначально необходимые шаги, но и места; цель этой небольшой книги – лишь намерение в целом и принципиально обозначить «графические» первоэлементы, а именно:
1. «абстрактные», то есть изолированные от реального окружения материальных форм материальной плоскости, и
2. материальная плоскость (воздействие основных свойств этой плоскости).
Но и это можно осуществить лишь в рамках довольно беглого анализа – как попытку найти нормальный метод в искусствоведческом исследовании и проверить его в действии.
ТОЧКА
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОЧКА
Геометрическая точка – это невидимый объект. И таким образом он должен быть определен в качестве объекта нематериального. В материальном отношении точка равна нулю.
В этом нуле скрыты, однако, различные «человеческие» свойства. В нашем представлении этот нуль – геометрическая точка – связан с высшей степенью самоограничения, то есть с величайшей сдержанностью, которая тем не менее говорит.
Таким образом, геометрическая точка в нашем представлении является теснейшей и единственной в своем роде связью молчания и речи.
Поэтому геометрическая точка находит форму материализации прежде всего в печатном знаке – он относится к речи и обозначает молчание.
ПИСЬМЕННЫЙ ТЕКСТ
В живой речи точка является символом разрыва, небытия (негативный элемент), и в то же время она становится мостом между одним бытием и другим (позитивный элемент). Это определяет ее внутренний смысл в письменном тексте.
Внешне – она лишь форма сугубо целесообразного приложения, несущая в себе элемент «практически целесообразного», знакомый нам уже с детства. Внешний знак приобретает силу привычки и скрывает внутреннее звучание символа.
Внутреннее замуровано во внешнем.
Точка принадлежит к узкому кругу привычных явлений с традиционно тусклым звучанием.
МОЛЧАНИЕ
Звук молчания, привычно связанного с точкой, столь громок, что он полностью заглушает все прочие ее свойства. Все традиционные привычные явления притупляются однообразием своего языка. Мы не слышим больше их голосов и окружены молчанием. Мы смертельно поражены «практически целесообразным».
СТОЛКНОВЕНИЕ
Иногда лишь необыкновенное потрясение способно перевести нас из мертвого состояния к живому ощущению. Однако нередко даже самая сильная встряска не может обратить мертвое состояние в живое. Удары, приходящие извне (болезнь, несчастье, заботы, война, революция), на краткое или долгое время насильственно отрывают от традиционных привычек, но воспринимаются, как правило, лишь как более или менее навязанная «несправедливость». При этом все прочие чувства перевешивает желание как можно скорее вернуться к утраченному привычному состоянию.
ИЗНУТРИ
Потрясения, приходящие изнутри, другого рода – они обусловлены самим человеком и почва их коренится в нем самом. Эта почва позволяет не только созерцать «улицу» сквозь «оконное стекло», твердое, прочное, но хрупкое, а целиком отдаться улице. Открытый глаз и открытое ухо превращают ничтожные волнения в огромные события. Со всех сторон несутся голоса, и мир звучит.
Так естествоиспытатель, который отправляется в новые неизведанные страны, делает открытия в «повседневном», и безмолвное когда-то окружение начинает говорить все более ясным языком. Так мертвые знаки превращаются в живые символы и безжизненное оживает.
Конечно, и новая наука об искусстве может возникнуть лишь тогда, когда знаки станут символами и когда открытый глаз и ухо позволят проложить путь от молчания к речи. Кто не может этого, пусть лучше оставит «теоретическое» и «практическое» искусство в покое, – его усилия в искусстве никогда не послужат возведению моста, но лишь расширят нынешний раскол между человеком и искусством. Как раз такие люди стремятся сегодня поставить точку после слова «искусство».
ВЫРВАТЬ
С последовательным отрывом точки от узкой сферы привычного действия ее молчавшие до сих пор внутренние свойства приобретают все более мощное звучание.
Эти свойства – их энергия – всплывают одно за другим из ее глубин и излучают Свои силы вовне. И их действие и влияние на человека все легче преодолевает скованность. Словом, мертвая точка становится живым существом.
Среди множества вероятностей необходимо упомянуть два типичных случая:
ПЕРВЫЙ СЛУЧАЙ
1. Точка переводится из практического целесообразного состояния в нецелесообразное, то есть в алогичное.
Сегодня иду я в кино.
Сегодня иду я. В кино
Сегодня иду. Я в кино
Ясно, что во втором предложении перестановке точки еще возможно придать характер целесообразности: акцентирование цели, отчетливость намерения, звук тромбонов.
Третье предложение – чистый образец алогизма в действии, который, однако, может быть объяснен как опечатка, – внутренняя ценность точки, сверкнув на мгновение, тут же угасает.
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ
2. Точка извлекается из своего практического целесообразного состояния тем, что ставится вне последовательности текущего предложения.
Сегодня
иду я в кино
●
В этом случае точка должна обрести большее свободное пространство вокруг себя, чтобы ее звучание получило резонанс. И несмотря на это, ее звук остается нежным, робким и заглушается окружающим ее печатным текстом.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОСВОБОЖДЕНИЕ
При увеличении свободного пространства и размеров самой точки ослабевает звучание письменного текста, а голос точки приобретает большую отчетливость и силу (рис. 1).
●
Рис. 1
Так возникает двузвучие – шрифт-точка – вне практически-целесообразной взаимосвязи. Это балансирование двух миров, которое никогда не придет к равновесию. Это внефункциональное революционное состояние – когда внедрением чужеродного тела, никак с текстом не связанного, потрясены самые основы печатного текста.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ
Тем не менее точка вырвана из своего привычного состояния и набирает разбег для рывка из одного мира в другой, где она свободна от субординации, от практически-целесообразного, где она начинает жить как самостоятельный объект и где ее система соподчинения преобразуется во внутренне-целесообразную. Это мир живописи.
В СТОЛКНОВЕНИИ
Точка – это результат первого столкновения [художественного] орудия с материальной плоскостью, с грунтом. Такой основной плоскостью могут являться бумага, дерево, холст, штукатурка, металл и т.д. Орудием может быть карандаш, резец, кисть, игла и т.д. В этом столкновении основная плоскость оплодотворяется.
ПОНЯТИЕ
Внешнее представление о точке в живописи неопределенно. Материализованная, невидимая геометрическая точка должна приобрести величину, занимающую определенную часть основной плоскости. Кроме того, она должна иметь некие границы – контуры, – чтобы отделить себя от окружающего.
Все это само собой разумеется и кажется сначала очень простым. Но и в этом простом случае сталкиваешься с неточностями, вновь свидетельствующими о совершенно эмбриональном состоянии нынешней теории искусства.
Размеры и формы точки изменяются, изменяя вместе с собой и относительное звучание точки абстрактной.
РАЗМЕР
Внешне точка может быть определена как мельчайшая элементарная форма, что, впрочем, тоже неточно. Очень сложно очертить точные границы понятия «мельчайшая форма»: точка может увеличиваться, стать плоскостью и незаметно занять всю основную плоскость – где же граница между точкой и плоскостью? Здесь необходимо соблюсти два условия:
1. соотношение точки и основной плоскости по величине и
2. соотношение [ее] величины с остальными формами на этой плоскости.
То, что могло бы считаться точкой на совершенно пустом фоне, становится плоскостью, если рядом с ней на основной плоскости появляется очень тонкая линия (рис. 2).
Рис. 2
Соотношение величин в первом и втором случае определяет представление о точке, что пока оценивается лишь на уровне ощущения – точное числовое выражение отсутствует.
НА ГРАНИЦЕ
Итак, сегодня мы в состоянии определить и оценить наступление точки на свою внешнюю границу лишь на уровне ощущения. Это приближение к внешней границе, даже некоторое ее преступление, достижение того момента, когда точка как таковая начинает исчезать и на ее месте зарождается эмбрион плоскости, – и есть средство для достижения цели.
Эта цель, в данном случае, смягчение абсолютного звука, подчеркнутое растворение, некая неотчетливость в форме, неустойчивость, позитивное (иногда и негативное) движение, мерцание, напряжение, ненатуральность абстракции, готовность к внутренним наложениям (внутренние звучания точки и плоскости сталкиваются, перекрывают друг друга, отражаются), двойное звучание одной формы, то есть рождение двойного звука в одной форме. Это многообразие и сложность, выраженные «мельчайшей» формой – достигнутые, в сущности, ничтожными изменениями ее величины, – дадут даже непосвященным убедительный пример силы и глубины выразительности абстрактной формы.
АБСТРАКТНАЯ ФОРМА
При последующем развитии этого средства выразительности и дальнейшей эволюции зрительского восприятия неминуемо появление точных категорий, которые со временем будут безусловно достигнуты посредством измерений. Числовое выражение здесь неизбежно.
ЧИСЛОВОЕ ВЫРАЖЕНИЕ И ФОРМУЛА
Здесь возникает только одна опасность: числовое выражение навсегда «осядет» в чувственном ощущении, тем самым сковывая его. Формула подобна клею. Она сродни также липкой ленте от мух, жертвами которой падают беспечные. Формула – это еще и клубное кресло, заключающее человека в свои теплые объятия. Но, с другой стороны, стремление освободиться из тисков – предпосылка для следующего рывка: к новым ценностям и в итоге – к новым формулам. И формулы умирают и сменяются вновь рожденными.
ФОРМА
Другой безусловной данностью является внешняя граница точки, определяющая ее внешнюю форму.
Абстрактно понятая или представленная точка идеально мала и идеально кругла. В сущности, она – идеально малая окружность. Но ее границы относительны, как и ее величина. В реальности точка способна принимать бесконечное множество форм: ее окружность может приобрести небольшие зубцы, тяготеть к иным геометрическим и в конечном счете произвольным формам. Она может быть остроконечной или приближаться к треугольнику. И, при условии относительной неподвижности, переходить к квадрату. Зубцы изрезанного контура могут быть как мелкими, так и крупными и по-разному соотноситься друг с другом. Здесь невозможно установить границы, царство точки беспредельно (рис. 3).
Рис. 3. Примеры форм точки
ОСНОВНОЕ ЗВУЧАНИЕ
Так, в соответствии с основным звучанием точки, вариативны ее величина и форма. И эта вариативность должна быть понята именно как относительность внутреннего оттенка внутренней природы, ясно звучащей во всем.
АБСОЛЮТНОЕ
Однако необходимо подчеркнуть, что совершенно чистые по звучанию, так сказать, однотонно окрашенные элементы не существуют в реальности, что даже элементы, принятые за «основные», или «первоэлементы», обладают не примитивной, а сложной природой. Все понятия, связанные с «примитивностью», относительны, поэтому относителен и наш «научный» язык. Абсолютного мы не знаем.
ВНУТРЕННЕЕ ПОНЯТИЕ
В начале этого отрывка, при обсуждении практически-целесообразной ценности точки в письменной речи, точка определялась как понятие размытое, нечто между кратким и продолжительным молчанием.
Внутренне осознанная точка как таковая вводит некое утверждение, которое органически связано с высшей степенью сдержанности.
Точка есть форма, внутренне предельно сжатая.
Она обращена внутрь себя. Это свойство она никогда не утрачивает совершенно – даже приобретая внешне угловатую форму.
НАПРЯЖЕНИЕ
Ее напряжение в итоге всегда концентрическое – даже в случаях ее эксцентрических проявлений, когда складывается двузвучие кон- и эксцентрического.
Точка – это малый мир, со всех сторон более или менее равномерно огражденный и практически оторванный от окружения. Ее слияние со средой минимально, а при высшей степени округлости совершенно неуловимо. С другой стороны, она прочно утверждена на своем месте и не обнаруживает ни малейшей склонности к перемещению в каком-либо направлении, как по горизонтали, так и по вертикали.
ПЛОСКОСТЬ
В ней нет также движения ни вперед, ни назад, и лишь концентрическое напряжение обличает ее сродство с окружностью – прочие же свойства скорее указывают на квадрат 3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точка цепляется за основную плоскость и навечно утверждает себя. Итак, она – внутренне кратчайшее постоянное утверждение, которое исходит кратко, прочно и быстро. Поэтому точка и во внешнем, и во внутреннем смысле является первоэлементом живописи и непосредственно «графики» 4.
«ЭЛЕМЕНТ» И ЭЛЕМЕНТ
Понятие «элемент» может быть осознано двояко – как внешнее и как внутреннее. Внешне каждая отдельно взятая графическая или живописная форма является элементом. Внутренне элементом является не сама эта форма, а живущее в ней внутреннее напряжение.
В действительности же не внешняя форма материализует содержание живописного произведения, а живущие в этих формах силы – напряжения 5.
Если эти напряжения внезапно чудесным образом исчезли бы или умерли, тут же умерло бы и живое произведение. А с другой стороны, произведением становилось бы любое случайное соединение отдельных форм. Содержание произведения находит свое выражение в композиции, то есть во внутренне организованной сумме необходимых в данном случае напряжений.
Это кажущееся простым утверждение имеет одно чрезвычайно важное и принципиальное значение: признание или отрицание его подразделяет не только нынешних художников, но и вообще всех современных людей на две противостоящие группы:
1. люди, которые, помимо материального, признают нематериальное, или духовное, и
2. те, которые, кроме материального, ничего не желают признавать.
Для второй категории искусство не может существовать, и поэтому такие люди отвергают сегодня само слово «искусство» и ищут для него заменитель.
На мой взгляд, позволительно отличать элемент от «элемента», притом под «элементом» следует понимать освобожденную от напряжения форму, а под элементом – живущее в этой форме напряжение. Итак, элементы абстрактны в действительном смысле [этого слова], а форма «абстрактна» сама по себе. И если бы было действительно возможно работать с абстрактными элементами, то существенно изменилась бы и внешняя форма современной живописи, что, впрочем, не сделало бы живопись в целом лишней: и абстрактные живописные элементы сохраняют свое живописное начало, точно так же как в музыке.
ВРЕМЯ
Отсутствие потенции движения на и от плоскости сокращает время восприятия точки до минимума, и элемент времени в точке полностью исключен, что в отдельных случаях делает точку необходимой для композиции. В этом она подобна коротким ударам литавр или треугольника в музыке или стуку дятла в природе.
ТОЧКА В ЖИВОПИСИ
До сих пор применение точки или линии в живописи находится в пренебрежении у некоторых теоретиков искусства, для которых среди множества древних устоев до сих пор нерушимы те, что еще недавно столь очевидно и надежно разделяли две области искусства – живопись и графику. В любом случае внутреннее основание для подобного разделения отсутствует 6.
ВРЕМЯ В ЖИВОПИСИ
Вопрос о времени в живописи важен сам по себе и чрезвычайно сложен. Несколько лет назад и здесь начали рушиться некоторые преграды 7. Прежде они разделяли две сферы искусства – живопись и музыку.
Очевидно ясное и правомерное разделение:
живопись – пространство (плоскость)
музыка – время
при ближайшем (хоть до сих пор и поверхностном) рассмотрении внезапно стало сомнительным в первую очередь, насколько мне известно, для самих художников 8. Общепринятое до сих пор пренебрежение временным аспектом в живописи отчетливо демонстрирует поверхностность господствующей теории, которая громко отрекается от научной основы. Здесь не место более подробно обсуждать этот вопрос – необходимо остановиться лишь на некоторых моментах, проясняющих элемент времени.
Точка есть наиболее краткая временная форма.
ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОИЗВЕДЕНИИ
Чисто теоретически точка, которая одновременно является
1. комплексом (величина и форма) и
2. четко очерченной единицей,
в определенных случаях взаимодействия с основной плоскостью должна быть [само]достаточным средством выразительности. Схематически задуманное произведение может, в конце концов, состоять из одной точки. И это не праздное утверждение.
Если сегодня теоретик (нередко он же одновременно «практикующий» художник) вынужден при систематизации изобразительных элементов с особенным вниманием выделять и оценивать первоэлементы, то для него, помимо вопроса об их предназначении, не менее важен вопрос о необходимом числе последних для одного, пусть даже схематически задуманного, произведения.
Этот вопрос принадлежит к большому, до сих пор пребывающему под спудом учению о композиции. Но и здесь необходимо продвигаться последовательно и планомерно – нужно начать с начала. В этом сочинении ставилась задача помимо краткого анализа двух исходных элементов формы наметить связи с всеохватным планом научной деятельности и обозначить направляющие линии во всеобщей науке об искусстве. Эти указания лишь намечают путь.
В этом смысле будет рассмотрен и поднятый нами вопрос: достаточно ли одной точки для произведения искусства?
Здесь могут быть различные варианты и возможности. Самый простой и краткий случай с точкой, расположенной центрально, – точкой в центре основной плоскости в форме квадрата (рис. 4).
Рис. 4
ПРООБРАЗ
Отторгающая сила основной плоскости достигает здесь максимальной величины и представляет собой частный случай 9. Двузвучие – точка, плоскость – принимает здесь характер однозвучия: звучание плоскости можно в принципе не принимать в расчет. На пути к упрощению это последний случай следующих друг за другом распадов многозвучий и двузвучий, при исключении прочих более сложных составляющих – возвращение композиции к единственному первоэлементу. Таким образом, этот случай демонстрирует прообраз живописного выражения.
ПОНЯТИЕ КОМПОЗИЦИИ
Мое определение понятия «композиция»:
композиция – это внутренне-целесообразное подчинение
1. отдельных элементов и
2. общего строения ( конструкции)
конкретной живописной цели.
ОДНОЗВУЧИЕ КОМПОЗИЦИИ
Итак, если однозвучие исчерпывающе воплощает заданную живописную цель, то оно в данном случае может быть приравнено к композиции. Здесь однозвучие становится композицией 10.
БАЗИС
По внешним признакам различия в композициях = живописных задачах вполне могут быть уподоблены различию в числах. Это различия количественные, причем в случае с «прообразом живописного выражения» качественный элемент полностью самоустраняется. Итак, если оценка произведения основана на безусловно качественном базисе, то для композиции необходимо, как минимум, двузвучие. Этот случай относится к тем, которые особенно отчетливо выявляют разницу между внешними и внутренними параметрами и средствами. То, что абсолютно чистые двузвучия при пристальном рассмотрении не существуют в реальности, может в данном случае приниматься лишь как утверждение, которое будет доказано в другом месте. В любом случае композиция возникает на качественном основании лишь с использованием многозвучий.
НЕ-ЦЕНТРИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕВ момент перемещения точки из центра основной плоскости (не-центрическое строение) двузвучие становится уловимым:
1. абсолютное звучание точки,
2. звучание данного фрагмента основной плоскости.
Этот второй звук, который в центрическом строении доведен до полного беззвучия, вновь становится отчетливым и превращает абсолютное звучание точки в относительное.
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ
Двойник этой точки на основной плоскости предлагает еще более сложный результат. Повторение становится мощным средством усиления внутреннего взрыва и одновременно орудием примитивного ритма, который, в свою очередь, является средством для достижения простейшей гармонии в любом искусстве. Кроме того, мы сталкиваемся здесь с двумя видами двузвучия: каждая часть основной плоскости индивидуальна с присущим ей одной звуком и внутренним оттенком. И кажущиеся незначительными обстоятельства приводят к непредвиденно сложным последствиям.
Положение вещей в данном случае таково:
Элементы: две точки + плоскость.
Следствия:
1. внутреннее звучание одной точки,
2. повторение звучания,
3. двузвучие первой точки,
4. двузвучие второй точки,
5. звучание суммы всех этих звуков.
Поскольку помимо всего прочего точка является сложным элементом (ее величина + форма), легко представить себе, какую бурю звуков поднимет дальнейшее скопление точек на плоскости, даже в случае идентичности этих точек; и как разрастется эта буря, если на плоскость будут помещены точки разнообразных и все более отличающихся размеров и форм.
ПРИРОДА
В другом столь же однородном царстве – природе часто встречается скопление точек, причем вполне целесообразно и органически обоснованное. Эти природные формы в действительности являются малыми пространственными телами и соотносятся с абстрактной (геометрической) точкой таким же образом, как и живописные. С другой стороны, и все «мироздание» можно рассматривать как замкнутую космическую композицию, которая, в свою очередь, составлена из бесконечно самостоятельных, также замкнутых в себе, последовательно уменьшающихся композиций. Последние же, большие или малые, тоже складываются в конечном счете из точек, причем точка неизменно хранит верность истокам своей геометрической сущности. Это комплексы геометрических точек, которые в разнообразных закономерно сложившихся формах парят в геометрической бесконечности. Самые малые, замкнутые в. себе, сугубо интровертные виды действительно представляются нашему невооруженному взгляду в виде точек, сохраняющих между собой достаточно свободную связь. Так выглядят некоторые семена; и если мы откроем чудесную, гладко отполированную, подобную слоновой кости головку мака (она, в итоге, тоже крупная шарообразная точка), то обнаружим в этом теплом шаре выстроенные в регулярную композицию скопления холодных серо-голубых точек, несущих дремлющие силы плодородия, так же точно, как и в живописной точке.
Иногда подобные формы возникают в природе благодаря распаду или разрушению вышеназванных комплексов – так сказать, прорыв к прообразу геометрического состояния. Так, в песчаной пустыне, состоящей исключительно из точек, не случайно приводит в ужас неукротимо-буйная подвижность этих «мертвых» точек.
И в природе точка является замкнутым в себе объектом, полным возможностей (рис. 5 и 6)
Рис. 5. Скопление звезд в Геркулесе
Рис. 6. Состав нитрита. В 1000-кратном увеличении
ДРУГИЕ ИСКУССТВА
Точки можно встретить во всех видах искусства, и их внутренняя сила будет безусловно все более осознаваться художниками. Их значение нельзя недооценивать.
ПЛАСТИКА И АРХИТЕКТУРА
В пластике и архитектуре точка является результатом пересечения нескольких плоскостей: с одной стороны, она – завершение пространственного угла, с другой – исходный пункт возникновения этих плоскостей. Плоскости направляются к ней и развиваются, отталкиваясь от нее. В готических строениях точки особенно выделяются благодаря остроконечным завершениям и часто дополнительно подчеркнуты пластически; то, что в китайских постройках столь же наглядно достигается ведущей к точке дугой, – здесь слышатся краткие, отчетливые удары, как переход к растворению пространственной формы, которая повисает в окружающей здание воздушной среде. Именно в постройках такого рода можно предположить осознанное использование точки, находящейся среди планомерно распределенных и композиционно устремленных к высшей вершине масс. Вершина = точка (рис. 7 и 8).
Рис. 7. Внешние ворота Линг-юнг-си
Рис. 8. Пагода «Красы дракона» в Шанхае (построена в 1411 г.)
ТАНЕЦ
Уже в старинных формах балета существовали «пуанты» – термин, происходящий от слова point 11. Так быстрый бег на кончиках пальцев ног оставляет на земле точки. Балетный танцовщик использует точку и в прыжке; как при отрыве от поверхности, направляя голову вверх, так и в последующем касании земли он целит в определенную точку. Прыжки в современном танце могут быть в ряде случаев противопоставлены «классическому» балетному прыжку. Ранее прыжок образовывал вертикаль, «современный» же иногда вписывается в пятиугольную фигуру с пятью вершинами: голова, две руки, две ступни; при этом пальцы рук составляют десять мелких точек (например, танцовщица Палукка, рис. 9). Даже краткий миг неподвижности [в танце] может быть истолкован как точка. Итак, [здесь] активный и пассивный пунктир, неразрывно связанный с музыкальной формой точки (рис. 9, 10).
Рис. 9. Прыжок танцовщицы Палукки
Рис. 10. Графическая схема прыжка
МУЗЫКА
Помимо упомянутых литавр и треугольника в музыке точка может воспроизводиться любыми инструментами (в особенности ударными), причем целостные композиции для рояля возможны исключительно в виде одновременного или последовательного сочетания звучащих точек 12.
Пятая симфония Бетховена (первые такты)
.
То же, переведенное в точки
Рис. 11 13
То же, переведенное в точки
То же, переведенное в точки
Побочная тема I части
То же, переведенное в точки
ГРАФИКА
В особой области живописи, то есть в графике, точка развивает свою автономную силу с чрезвычайной отчетливостью: художественные орудия предлагают этим силам самые различные возможности, что обусловливает многообразие форм и величин и превращает точки в бесчисленное множество по-разному звучащих объектов.
ТЕХНИКИ
Но и здесь многообразие и различия легко упорядочить, если взять за основу для этого порядка специфику графического процесса.
Наиболее распространенными графическими техниками являются:
1. офорт, и особенно – сухая игла,
2. гравюра на дереве,
3. литография.
И именно в отношении к точке и ее происхождению с особенной отчетливостью проступает различие между этими тремя техниками.
ОФОРТ
В офорте естественным образом, играючи достигается появление мельчайшей черной точки. Напротив, крупная белая точка появляется лишь в результате значительных усилий и различных уловок.
ГРАВЮРА НА ДЕРЕВЕ
В гравюре на дереве положение вещей прямо противоположно: маленькая белая точка требует лишь одного укола, а большая черная – усилий и осмотрительности.
ЛИТОГРАФИЯ
В литографии пути к обоим результатам примерно равноценны и необходимость в усилиях отпадает.
Так же точно различаются между собой и возможности исправлений для этих трех техник: в офорте, строго говоря, исправления невозможны, в гравюре по дереву – допустимы по необходимости, в литографии – неограниченны.
АТМОСФЕРА
Из сопоставления этих трех техник становится ясно, что литография должна была появиться последней, в действительности лишь сегодня, – подобная легкость не дается без усилий. А с другой стороны, легкость возникновения и легкость исправления – это те качества, которые особенно соответствуют сегодняшнему дню. Нынешний день – лишь трамплин в «завтра», и только в таком качестве можно воспринимать его, не теряя душевного покоя.
Никакое естественное различие не может остаться и не остается поверхностным – оно должно исходить из самых глубин, то есть из сердцевины вещей. И технические возможности растут столь же целесообразно и направленно, как и любые явления в «материальном» мире (ель, лев, звезда, вошь) или в «духовном» (произведение искусства, моральный принцип, научный метод, религиозная идея).
КОРНИ
И даже когда отдельные явления = растения так отличаются друг от друга обликом, что их внутреннее родство остается скрытым, и когда эти явления внешне предстают поверхностному взгляду как абсолютный хаос, все же возможно, основываясь на внутренней необходимости, проследить их корни.
ЗАБЛУЖДЕНИЯ
На этом пути знакомишься и с подлинной ценностью различий, которые хотя и целесообразны и, в сущности, всегда правомерны, но могут жестоко отплатить за легкомысленное обращение противоестественным уродством.
Этот простой факт особенно нагляден в узкоспециальной области графики: непонимание основных различий между возможностями вышеназванных техник часто приводило к появлению бессмысленных и потому отталкивающих произведений. Они обязаны своим возникновением несостоятельности распознать внутреннюю сущность вещей во внешнем – когда душа, отвердевшая как пустая ореховая скорлупа, утратила способность к погружению и не может проникнуть в глубину вещей, где под внешней оболочкой слышно биение пульса.
Специалисты графики XIX века нередко гордились способностью выдать гравюру по дереву за рисунок пером, а литографию за офорт. Подобные произведения можно назвать лишь testimonia pauperitatis [свидетельством бедности]. Крик петуха, скрип двери, лай собаки, которые может поразительно искусно воспроизвести скрипка, никогда не будут признаны произведениями искусства.
ЦЕЛЕСООБРАЗНОЕ
Материал и инструменты трех видов гравюры естественным образом созвучны необходимости воплотить три различных характера точки.
МАТЕРИАЛ
В качестве материала во всех случаях может использоваться бумага, и лишь поведение специфического инструмента в каждом случае принципиально иное. На этом основании и сложились три техники, сосуществующие по сей день.
ИНСТРУМЕНТ И ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТОЧКИ
Офорт.
Среди различных видов офорта особенным предпочтением пользуется сухая игла, прекрасно отвечающая духу стремительности и, с другой стороны, обладающая характером разящей точности. Здесь основная плоскость может оставаться совершенно белой, и в эту белизну глубоко укоренены точки и штрихи. Сладострастно врезаясь в пластину, игла действует с определенностью и высшей степенью решительности. Первоначально точка возникает как негатив, посредством краткого, резкого укола пластины.
Игла, заостренный металл, – холодна.
Пластина, гладкая медь, – тепла.
Цвет плотным слоем наносится на всю пластину и смывается таким образом, что точка просто и естественно остается лежать на светлом лоне плоскости.
Нажим пресса подобен насилию. Пластина врезается в бумагу. Бумага проникает в мельчайшие углубления и втягивает в себя цвет. Болезненный процесс, приводящий к полному сплавлению цвета с бумагой.
Так возникает здесь малая черная точка – живописный первоэлемент.
Гравюра на дереве.
Инструмент – резец – металл – холоден.
Пластина – дерево (например, бук) – тепла.
Точку создает неприкосновенность со стороны инструмента, он обводит ее, словно крепость, глубоким рвом и должен остерегаться, чтобы никак ее не повредить. Чтобы точка могла появиться на свет, все окружающее ее должно быть подвергнуто насилию, искоренено, уничтожено.
Краска так наносится на плоскость, что полностью покрывает точку, не затрагивая ее окружения. Уже на доске ясно виден будущий оттиск.
Нажим пресса мягок: бумага не должна попасть в углубления, ей следует касаться лишь поверхности. Маленькая точка располагается не в бумаге, а на бумаге. Проникновение в плоскость предоставлено ее внутренним силам.
Литография.
Пластина – камень неопределенно-желтоватого оттенка – тепла.
Инструмент – перо, мел, кисть – более или менее остроконечные предметы с площадью касания различной величины и, наконец, – мелкие капли воды (техника напыления). Наибольшее многообразие, наибольшая гибкость.
Краска лежит легко и непрочно. Ее связь с пластиной чрезвычайно условна, и после легкой шлифовки пластина вновь возвращается в девственное состояние.
Точка возникает здесь мгновенно – молниеносно, без всякого усилия, без малейших затрат времени – лишь кратким, поверхностным касанием.
Нажим пресса – беглый. Бумага равнодушно прикасается ко всей плоскости и воспроизводит лишь обработанные участки.
Точка так легко сидит на бумаге, что улети она – это не покажется чудом.
Итак, точка располагается:
в офорте – внутри листа,
в гравюре по дереву – внутри и на листе,
в литографии – на листе.
В этом отличие трех видов гравюры друг от друга, и в этом область их пересечения между собой.
И так точка, которая во всем остается точкой, обретает различные облики и разное выражение.
ФАКТУРА
Эти последние наблюдения относятся к специфическому вопросу фактуры.
Под понятием «фактура» понимается характер внешней связи элементов между собой и с основной плоскостью. В схематическом определении этот характер зависит от трех факторов:
1. от рода основной плоскости, которая может быть гладкой, шероховатой, плоской, рельефной и т.д.;
2. от рода инструмента, причем наиболее распространенная сегодня в живописи кисть (различных видов) может быть заменена другими инструментами;
3. от характера наложения красочного слоя, который может быть свободным, плотным, въедающимся, напыленным и т.д., в зависимости от консистенции краски – то есть своеобразия связующих и красящих веществ и т.д.
И даже на очень ограниченной поверхности точки необходимо учитывать возможности фактуры (рис. 12 и 13). Здесь, несмотря на тесные границы мельчайшего элемента, все же важны различные способы создания, поскольку в зависимости от изготовления всякий раз иной оттенок приобретает и звучание точки.
Рис. 12. Центрический
комплекс свободных точек
Рис. 13. Большая точка, состоящая из множества малых (техника напыления)
Итак, во внимание принимаются:
1. характер точки в зависимости от орудия изготовления и рода принимающей плоскости (в данном случае – тип пластины),
2. характер точки на основании ее связи с конечной принимающей плоскостью (в данном случае – бумага),
3. характер точки в зависимости от собственных качеств конечной принимающей плоскости (в данном случае гладкая, зернистая, тисненая, шероховатая бумага).
Когда же необходимо скопление точек, то три упомянутых случая еще более усложнятся в зависимости от способа изготовления точечного множества, – как в процессе их нанесения вручную, так и тем или иным механическим путем (всевозможные напыления).
Разумеется, все эти возможности играют еще большую роль для живописи: разница заключается здесь в своеобразии живописных средств, которые предлагают неизмеримо больше вариантов фактуры, чем узкая сфера графики.
Но и в этой узкой сфере вопросы фактуры сохраняют всю полноту своего значения. Фактура – это средство для достижения цели и в таком качестве должна осознаваться и применяться. Другими словами, она не должна превращаться в самоцель, она обязана так же служить композиционному замыслу (цели), как и всякий другой элемент (средство). Иначе возникнет внутренняя дисгармония, в которой средство заслонит цель. Внешнее начало, перекрывающее внутреннее, манерно.
АБСТРАКТНОЕ ИСКУССТВО
В данном случае можно увидеть одно из различий между «предметным» и абстрактным искусством. В первом звучание элемента «как такового» приглушается, подавляется. В абстрактном же искусстве оно приходит к полноценному, освобожденному звуку. И именно маленькая точка может служить тому неоспоримым доказательством.В сфере «предметной» графики имеются изображения, состоящие исключительно из точек (знаменитый «лик Христа», например), причем точки призваны имитировать линии. Очевидно, что здесь имеет место неправомерное использование точки, поскольку точка, подавленная «предметностью», ослаблена в своем звучании и обречена на жалкое полусуществование 14.
В абстрактном искусстве техника должна быть, разумеется, целесообразна и композиционно обусловлена. И доказательства здесь излишни.
СИЛА ИЗНУТРИ
Все, что здесь в целом было сказано о точке, относится к анализу замкнутой в себе, покоящейся точки. Изменения ее величины несут с собой изменения ее относительной сущности. В таком случае она разрастается из себя самой, из собственного центра, следствием чего становится лишь некоторое ослабление ее концентрического напряжения.
СИЛА ИЗВНЕ
Возможна и другая сила, которая возникает не в точке, а за пределами таковой. Эта сила устремляется навстречу внедряющейся в поверхность точке, вырывает ее и двигает по плоскости в каком-либо направлении. Это мгновенно уничтожает концентрическое напряжение точки, причем сама она уходит из жизни, а на месте ее возникает новая сущность, ведущая новую самостоятельную жизнь и подчиненная собственным законам. Это линия.
Точка и линия | интернет проект BeginnerSchool.ru
С этой статьи мы начнем изучать элементы геометрии. Геометрия это раздел математики, изучающий пространственные структуры. Любая пространственная структура, или проще говоря, фигура состоит из точек. Поэтому одно из основных понятий в геометрии это ТОЧКА.
Точки принято обозначать буквами латинского алфавита. На маленьком отрезке может быть много точек. Посмотрите на рисунок:
Здесь изображено четыре точки. Они обозначены латинскими буквами A, B, C и D. Через точки A и C проведена линия. Между точками A и С лежит точка D. Точка В не принадлежит линии.
Любая линия состоит из множества точек.
Возьмем обычную нитку. Натянув нитку, мы получим модель прямой линии, такую линию называют просто прямой. А если нитку расслабить, то получится модель кривой линии или просто кривой:
Кривые могут быть разными: короткими, длинными, замкнутыми и незамкнутыми, могут пересекать сами себя. Через две точки можно провести любое количество кривых.
Прямые бесконечны. На чертежах изображают лишь небольшую часть прямой, но, на самом деле, прямая продолжается в обе стороны бесконечно долго.
Прямые могут быть горизонтальными, вертикальными и наклонными:
Когда мы смотрим стоя в поле на соединение неба и земли, мы видим горизонт, это и есть модель горизонтальной линии. Когда мы возьмем один конец нитки, а к другому концу привяжем грузик, то нитка повиснет вертикально вниз – это модель вертикальной линии. Если нитку отклонить в любую сторону оставив её натянутой, то получится модель наклонной линии.
Через любые две точки можно провести только одну прямую:
Прямую можно назвать по любым двум точкам, принадлежащим этой линии, то есть лежащим на ней. Можно прямую обозначить маленькой (строчной) латинской буквой.
На рисунке мы видим прямую АС. Также мы можем её назвать прямой а.
Давайте попробуем решить задачу.
Задача 1
Определить принадлежат ли точки B и D прямой АС изображенной на чертеже:
Итак, мы видим, что точка В лежит на прямой между точками А и С. Значит точка В принадлежит прямой. В свою очередь точка D находится в стороне от прямой. Значит точка D не принадлежит этой прямой.
Решим ещё задачу.
Задача 2
Определить принадлежит ли точка В прямой АС изображенной на чертеже:
Для того чтобы определить принадлежит ли точка В прямой АС продлим прямую до точки В.
Теперь мы видим, что точка В принадлежит прямой АС.
Спасибо, что Вы с нами.
Понравилась статья — поделитесь с друзьями:
Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже
Точка и линия — The Dot and the Line
Фильм 1965 года Чака Джонса
Точка и линия: роман по низшей математике — это книга, написанная и проиллюстрированная Нортоном Джастером , впервые опубликованная издательством Random House в 1963 году.
В 1965 году аниматор Чак Джонс и студия MGM Animation / Visual Arts работали с Нортоном Джастером над адаптацией «Точки и линии» к 10-минутному короткометражному анимационному фильму для Metro-Goldwyn-Mayer , рассказанному Робертом Морли с почти дословным повествованием. к книге. Фильм «Точка и линия» получил в 1965 году премию «Оскар» за короткометражный анимационный фильм . Он был включен в конкурс короткометражных фильмов на Каннском кинофестивале 1966 года .
Этот мультфильм был выпущен в качестве специального выпуска на DVD « Лодка со стеклянным дном» в 2005 году. Этот мультфильм также присутствует в выпуске 2008 года Warner Home Video Academy Awards Animation Collection и в выпуске 2011 года Looney Tunes Platinum Collection: Volume 1 Blu-ray. бокс-сет на третий диск как особенность. В 2005 году Роберт Ксавье Родригес сделал музыкальную постановку книги для рассказчика и камерного ансамбля с проецируемыми образами, а в 2011 году — версию для всего оркестра.
История
История детали прямой линии , который безнадежно влюблен в точку . Точка, находя линию жесткой, тусклой и условной, превращает ее привязанность в дикую и неопрятную волнистую линию. Воспользовавшись жесткостью линии, волнистая линия натирает ее, так что точка намного веселее. Друзья депрессивной линии пытаются уговорить его примириться с женской линией, но он отказывается. Он пытается мечтать о величии, пока, наконец, не понимает, что означает волнистая линия, и решает быть более нестандартным. Желая сделать все возможное, чтобы завоевать расположение точки, линия умудряется изгибаться и образовывать угол за углом, пока не станет не чем иным, как беспорядком из сторон, изгибов и углов. После того, как он выпрямляется, он успокаивается и более ответственно сосредотачивается на этой новой способности, создавая настолько сложные формы, что ему приходится обозначать свои стороны и углы, чтобы сохранить свое место. При повторном соревновании закорючка утверждает, что линии все еще нечего показать в точку. Линия доказывает, что его соперница ошибалась, и может показать точку, чего она действительно для него стоит. Когда она видит это, точка понимает, что ее отношения с волнистой линией были ошибкой; что то, что она считала свободой и радостью, было не более чем хаосом и ленью. Волнистая линия пытается вернуть свою любовь, пытаясь сделать то, что сделала линия, но безуспешно, поскольку как бы сильно он ни пытался изменить себя, он все равно остается тем же запутанным, хаотичным беспорядком линий и кривых. Сытый, точка говорит ему, что она действительно думает о нем, осуждая закорючку как бессмысленную, недисциплинированную, незначительную и неудачную. Она уходит с линией, согласившись с тем, что он может предложить гораздо больше, и преподносится каламбурная мораль: « Добыча принадлежит вектору ».
Авторство
Хотя он был указан как режиссер Чака Джонса, настоящим действующим директором был Морис Ноубл, согласно его собственным воспоминаниям, который долгое время работал второстепенным художником и, в конечном итоге, был соруководителем в многочисленных проектах с Джонсом. Чак Джонс был одним из авторов адаптации и первым обработал короткометражку. Однако результаты не понравились продюсерам, которые попросили Мориса Ноубла взять на себя ответственность, сильно рассердив Джонса. Ноубл вспоминает, как переход произошел несколько драматично: «Чак, с большим хмурым лицом, вошел и бросил все осколки на мой большой коричневый книжный шкаф; он сложил всю картину следующим образом: черт, черт, черт … из комнаты «.
Наследие
Точка и линия послужили источником вдохновения для коллекции украшений дизайнера Джейн А. Гордон . Этот короткометражный фильм также вдохновил The Dot and Line , блог, в котором публикуются очерки о мультфильмах и интервью с актёрами озвучивания и создателями, включая Генди Тартаковски , Андреа Романо , Брэндона Виетти , Фреда Зайберта и Натали Паламидес .
Примечания
- Это был один из двух короткометражных фильмов, не связанных с Томом и Джерри, выпущенных Metro-Goldwyn-Mayer после 1958 года. Другой — «Медведь, которого не было» , выпущенный в 1967 году в качестве последнего короткометражного мультфильма MGM.
- «Точка и линия» выиграла финальную награду за короткометражный анимационный фильм «Метро-Голдвин-Майер» и единственную награду Чака Джонса как продюсера.
- Это была одна из двух книг Джастера, адаптированных для большого экрана Чаком Джонсом, хотя Джастер не имел отношения к другой, «Призрачной будке» .
- В отличие от других мультфильмов MGM с 1963 по 1967 год, лев на открывающем логотипе этого фильма — Лео .
Смотрите также
Рекомендации
внешняя ссылка
<img src=»https://en.wikipedia.org//en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>точек, линий и плоскостей
Точки, линии и плоскости
Точка , линия и плоскость вместе с , установленным , являются неопределенными терминами, которые обеспечивают отправную точку для геометрии. Когда мы определяем слова, мы обычно используем более простые слова, а эти более простые слова, в свою очередь, определяются с помощью еще более простых слов. В конечном итоге этот процесс должен прекратиться; на каком-то этапе в определении должно использоваться слово, значение которого интуитивно понятно.Поскольку это значение принимается без определения, мы называем эти слова неопределенными терминами . Эти термины будут использоваться для определения других терминов. Хотя эти термины не имеют формального определения, необходимо краткое интуитивное обсуждение.
точка
точка — самый фундаментальный объект в геометрии. Он обозначен точкой и назван заглавной буквой. Точка представляет только позицию; он имеет нулевой размер (то есть нулевую длину, нулевую ширину и нулевую высоту).На рисунке 1 показана точка C , точка M и точка Q .
Рисунок 1
Три очка.
Линия
Линия (прямая линия ) можно рассматривать как связанный набор из бесконечного множества точек.Он распространяется бесконечно далеко в двух противоположных направлениях. Линия имеет бесконечную длину, нулевую ширину и нулевую высоту. Назовите его любыми двумя точками на линии. Символ ↔, написанный над двумя буквами, используется для обозначения этой строки. Линия также может быть названа одной маленькой буквой (рисунок 2).
Рисунок 2
Две линии.
Коллинеарные точки
Точки, лежащие на одной линии, называются коллинеарными точками .Если нет линии, на которой лежат все точки, то это неколлинеарных точек . На рисунке 3 точки M, A и N коллинеарны, а точки T, I и C неколлинеарны.
Рисунок 3 Три коллинеарные точки и три неколлинеарные точки.
Самолет
Плоскость может рассматриваться как бесконечный набор точек, образующих соединенную плоскую поверхность, бесконечно далеко простирающуюся во всех направлениях.Плоскость имеет бесконечную длину, бесконечную ширину и нулевую высоту (или толщину). Обычно он изображается на чертежах в виде четырехугольной фигуры. Для обозначения самолета используется одна заглавная буква. Слово plane — это , написанное с буквы, чтобы не путать с точкой (рис. 4 ).
Рисунок 4 Две плоскости.
Расстояние от точки до линии
У нас есть общая линия ax + by + c = 0ax + by + c = 0ax + by + c = 0 с именем LLL.Эта прямая имеет наклон −ab- \ frac {a} {b} −ba. У нас также есть общая точка P = (x0, y0) P = (x_0, y_0) P = (x0, y0). Расстояние между линией LLL и точкой PPP можно представить другой линией, перпендикулярной L; L; L; назовем это ТТТ. TTT будет иметь уклон ba \ frac {b} {a} ab, поскольку он перпендикулярен LLL. Теперь, чтобы найти расстояние между точкой PPP и линией L, L, L, мы можем использовать небольшой геометрический трюк и получить другую линию, параллельную LLL, которая проходит через PPP; назовем это SSS. Точно так же у нас может быть другая линия, на этот раз параллельная TTT, которая проходит через начало координат (0,0) (0,0) (0,0); назовем это RRR.
Теперь, когда время рисования закончилось, пора работать.
Во-первых, поскольку SSS проходит через PPP и имеет тот же наклон, что и LLL, его уравнение составляет
y − y0 = −ab (x − x0) ⟹ y = −ax + ax0 + by0b.y — y_0 = — \ dfrac {a} {b} (x — x_0) \ подразумевает y = \ dfrac {-ax + ax_0 + by_0} {b} .y − y0 = −ba (x − x0) ⟹y = b − ax + ax0 + by0.
Линия RRR имеет уравнение
y = bax. y = \ dfrac {b} {a} x.y = ab x.
Итак, линия SSS пересекается с линией RRR, когда
bax = −ax + ax0 + by0b ⟹ x = a (ax0 + by0) a2 + b2.2}}. \ end {align} d = (- a2 + b2ac −a2 + b2a (ax0 + by0)) 2 + (- a2 + b2bc −a2 + b2b (ax0 + by0)) 2 = (a2 + b2) 2 [−a (ax0 + by0 + c)] 2 + [- b (ax0 + by0 + c) v] 2 = (a2 + b2) 2 (a2 + b2 ) (ax0 + by0 + c) 2 = a2 + b2 (ax0 + by0 + c) 2 = a2 + b2 ∣ax0 + by0 + c∣.
Знак абсолютного значения необходим, так как расстояние должно быть положительным значением. □ _ \ квадрат □
Здесь мы представляем геометрическое доказательство.
Сначала мы рисуем линию, параллельную LLL, которая проходит через PPP, которая имеет уравнение ax + by- (ax0 + by0) = 0ax + by- (ax_0 + by_0) = 0ax + by- (ax0 + by0) = 0. 2))`
Знак абсолютного значения необходим, поскольку расстояние должно быть положительным значением, и определенные комбинации A, m, B, n и C могут дать отрицательное число в числителе.2`
`= (| (-2) (5) + (3) (6) +4 |) / (sqrt (4 + 9)`
`= 3,328`
Вот график ситуации. Мы видим, что наш ответ чуть более 3 единиц является разумным.
Таким образом, требуемое расстояние составляет «3,3» единицы с точностью до 1 десятичного знака.
Пример 2
Найдите расстояние от точки `(-3, 7)` до линии
`y = 6 / 5x + 2`
Ответ
Сначала нам нужно выразить данную строку в стандартной форме.2`
`= (| (6) (- 3) + (- 5) (7) +10 |) / sqrt (36 + 25)`
`= | -5,506 |`
`= 5.506`
Таким образом, требуемое расстояние составляет «5,506» единиц с точностью до 3 десятичных знаков.
Точка, линия, плоскость
Ниже приведены различные примечания и алгоритмы, относящиеся к точкам, линиям и плоскостям. Написано Полем Бурком, октябрь 1988 г.
В этом примечании описывается методика и дается решение для поиска кратчайшее расстояние от точки до отрезка или отрезка.Уравнение прямой, определяемой через две точки P1 (x1, y1) и P2 (x2, y2) — это
P = P1 + u ( P2 — P1 )Точка P3 (x3, y3) находится ближе всего к прямой на касательной к линии, которая проходит через P3 , то есть скалярное произведение касательной и прямой равен 0, поэтому
( P3 — P ) точка ( P2 — P1 ) = 0Подстановка уравнения линии дает
[ P3 — P1 — u ( P2 — P1 )] точка ( P2 — P1 ) = 0Решение дает значение u
Подставляя это в уравнение прямой, получаем точку пересечения (x, y) касательной как
х = х1 + и (х2 — х1)у = у1 + и (у2 — у1)
Следовательно, расстояние между точкой P3 и линией — это расстояние между (x, y) выше и P3 .
Примечания- Единственное специальное тестирование программной реализации — убедиться, что P1 и P2 не совпадают (знаменатель в уравнении для u равно 0)
- Если требуется расстояние от точки до сегмента линии, то это только необходимо для проверки того, что u лежит между 0 и 1.
- Решение аналогично в более высоких размерах.
Исходный код
Исходный код C от Дэмиана Ковентри: Исходный код C
VBA от Брэндона Кросби: Исходный код VBA
Dephi от Грэма О’Брайена: версия Delphi
Версия R от Грегуара Томаса: pointline.r
Версия JAVA от Питера Изербита: DistancePoint.java
Реализация LabView от Криса Танцера: Pointlinesegment.vi.zip
Расстояние справа от Ориона Элензила: правая сторона
VBA VB6 от Томаса Людвига: vbavb6.txt
, март 1996 г.
Пусть P a = (x a , y a , z a ) быть вопросом, о котором идет речь.
Самолет можно определить по нормали n = (A, B, C) и любая точка на плоскости P b = (x b , y b , z b )
Любая точка P = (x, y, z) лежит на плоскости, если она удовлетворяет следующим условиям
А х + В у + С z + D = 0Минимальное расстояние между P a и плоскостью равно абсолютное значение
(A x a + B y a + C z a + D) / sqrt (A 2 + B 2 + C 2 ) | .. . 1 |
Чтобы получить этот результат, рассмотрим проекцию линии ( P a — P b ) на нормаль самолет n , то есть просто || P a — P b || cos (theta), где theta — угол между ( P a — P b ) и нормальный n . Этот проекция — это минимальное расстояние P a до плоскости.
Это можно записать в терминах скалярного произведения как
. минимальное расстояние = ( P a — P b ) точка n / || n ||Это
минимальное расстояние = (A (x a — x b ) + B (y a — y b ) + C (z a — z b )) / sqrt (A 2 + B 2 + C 2 ) | . . . 2 |
Поскольку точка (x b , y b , z b ) это точка на плоскости
A x b + B y b + C z b + D = 0 | .. . 3 |
Подстановка уравнения 3 в уравнение 2 дает результат, показанный в уравнении 1.
Написано Полем Бурком, апрель 1989 г.
В этой заметке описывается методика и алгоритм определения точка пересечения двух линий (или отрезков) в 2-х измерениях.
Уравнения линий:
P a = P1 + u a ( P2 — P1 )P b = P3 + u b ( P4 — P3 )
Решение для точки, где P a = P b дает следующее два уравнения с двумя неизвестными (u a и u b )
x1 + u a (x2 — x1) = x3 + u b (x4 — x3)и
y1 + u a (y2 — y1) = y3 + u b (y4 — y3)
Решение дает следующие выражения для u a и u b
Подстановка любого из них в соответствующее уравнение для прямой дает точку пересечения.Например, точка пересечения (x, y) равна
х = х1 + и а (х2 — х1)y = y1 + u a (y2 — y1)
Примечания:- Знаменатели в уравнениях для u a и u b одинаковы.
- Если знаменатель уравнений для u a и u b равно 0, то две прямые параллельны.
- Если знаменатель и числитель уравнений для u a и u b равны 0, то две линии совпадают.
- Уравнения применяются к линиям, если пересечение сегментов линии требуется, то необходимо только проверить, лежат ли u a и u b между 0 и 1. Какой бы из них ни находился в этом диапазоне, тогда соответствующий отрезок линии содержит точку пересечения. Если оба лежат в диапазоне от 0 до 1, тогда точка пересечения находится внутри обоих отрезков линии.
Оригинальный код C от Пола Бурка.
Вклад C ++ Дэмиана Ковентри.Реализация
LISP Полом Райнерсом. Версия
C для прошивки Rockbox от Карла Курбьюна. Версия
C # от Олафа Раббачина.
Версия VB.net Олафа Раббачина. Реализация VBA
Джузеппе Яриа.
Версия Javascript от Лео Боттаро.
Написано Полем Бурком,
, апрель 1998 г.
Две линии в 3 измерениях обычно не пересекаются в одной точке, они могут быть параллельными (без пересечений) или они могут совпадать (бесконечное пересечения), но чаще всего пересекаются только их проекции на плоскость.. Когда они точно не пересекаются в точке, их можно соединить линией. сегмент, самый короткий сегмент линии уникален и часто считается быть их пересечением в 3D.
Ниже будет показано, как вычислить этот самый короткий отрезок линии, который соединяет две линии в 3D, он как побочный продукт идентифицирует параллельные линии. В дальнейшем прямая будет определяться двумя точками, лежащими на это точка на линии «а», определяемая точками P 1 и P 2 имеет уравнение. P a = P 1 + mu a (P 2 — P 1 )аналогично точка на второй линии «b», определяемая точками P 4 и P 4 будет записан как P b = P 3 + mu b (P 4 — P 3 )Значения mu a и mu b варьируются от отрицательных до положительная бесконечность. Отрезки между P 1 P 2 и P 3 P 4 имеют соответствующие значения mu от 0 до 1. |
Существует два подхода к поиску самого короткого отрезка между линиями. «а» и «б». Первый — записать длину отрезка линии. соединяя две линии, а затем найдите минимум. То есть минимизировать следующие
|| P b — P a || 2Подстановка уравнений линий дает
|| P 1 — P 3 + mu a (P 2 — P 1 ) — mu b (P 4 — P 3 ) || 2Вышеупомянутое затем может быть расширено до компонентов (x, y, z).Есть условия, которые должны выполняться как минимум, производная по mu a и mu b должны быть равны нулю. Примечание: легко убедить себя, что указанная выше функция имеет только один минимум и нет другие минимумы или максимумы. Эти два уравнения могут тогда быть решенным для mu a и mu b , фактическое пересечение точки, найденные путем подстановки значений mu в исходные уравнения линии.
Альтернативный подход, но тот, который дает те же самые уравнения, — чтобы понять, что самый короткий отрезок линии между двумя линиями будет перпендикулярно двум линиям.Это позволяет нам написать два уравнения для скалярного произведения как
(P a — P b ) точка (P 2 — P 1 ) = 0(P a — P b ) точка (P 4 — P 3 ) = 0
Расширяя их, получим уравнение строк
(P 1 — P 3 + mu a (P 2 — P 1 ) — mu b (P 4 — P 3 )) точка (P 2 — P 1 ) = 0(P 1 — P 3 + mu a (P 2 — P 1 ) — mu b (P 4 — P 3 )) точка (P 4 — P 3 ) = 0
Разложить их по координатам (x, y, z) — кошмар. но результат следующий
d 1321 + mu a d 2121 — mu b г 4321 = 0d 1343 + mu a d 4321 — mu b г 4343 = 0
где
д мноп = (x м — x n ) (x o — x p ) + (y m — y n ) (y o — y p ) + (z m — z n ) (z o — z p )Обратите внимание, что d mnop = d opmn
Наконец, решение для mu a дает
mu a = (d 1343 d 4321 — d 1321 d 4343 ) / (d 2121 d 4343 — d 4321 д 4321 )и обратная подстановка дает mu b
mu b = (d 1343 + mu a d 4321 ) / г 4343 Добавлен исходный код
Оригинальный исходный код на C от автора: lineline.c
Вклад Дэна Уиллса в MEL (встроенный язык майя): source.mel.
Версия Matlab от Кристиана Димы: linelineintersect.m.
Функция Maxscript от Криса Джонсона: LineLineIntersect.ms
Версия LISP для AutoCAD (и Intellicad) от Эндрю Беннета: int1.lsp и int2.lsp
Вклад Брюса Вогана в виде сценария Python для проектирования SDS / 2 программное обеспечение: L3D.py
Версия C # от Рональда Холтуизена: calclineline.cs
VBA Версия VB6 от Томаса Людвига: vbavb6.txt
Реализация LabView Джона ван Шайка: V01_LineLine3D.vi.zip
август 1991
Вклад Брайана Хэнсона: Реализация в R
В этой заметке будет проиллюстрирован алгоритм поиска пересечения прямой. и самолет с использованием двух возможных формулировок самолета.
Решение 1
Уравнение плоскости (точки P лежат на плоскости с нормалью N и точка P3 на плоскости) можно записать как N точка ( P — P3 ) = 0 Уравнение прямой (точки P на прямой, проходящей через точки P1 и P2 ) можно записать как P = P1 + u ( P2 — P1 ) Пересечение этих двух происходит, когда N точка ( P1 + u ( P2 — P1 )) = N точка P3 Решение для вас дает Примечание- Если знаменатель равен 0, то нормаль к плоскости перпендикулярна плоскости линия. Таким образом, прямая либо параллельна плоскости, и решений нет. или линия находится на плоскости, и в этом случае существует бесконечное количество решения
- Если это необходимо для определения пересечения отрезка прямой между P1 и P2 , затем просто проверьте, что u находится между 0 и 1.
Решение 2
Самолет также можно представить уравнением А х + В у + С z + D = 0 где все точки (x, y, z) лежат на плоскости.Подставляя в уравнение прямой через точки P1 (x1, y1, z1) и P2 (x2, y2, z2)
Р = Р1 + и (Р2 — Р1) дает А (x1 + u (x2 — x1)) + B (y1 + u (y2 — y1)) + C (z1 + u (z2 — z1)) + D = 0. Решение для uПримечание
- знаменатель равен 0, тогда нормаль к плоскости перпендикулярна плоскости линия.Таким образом, прямая либо параллельна плоскости, и решений нет. или линия находится на плоскости, и в этом случае бесконечные решения
- , если это необходимо для определения пересечения отрезка прямой между Затем P1 и P2 просто проверяют, что u находится между 0 и 1.
, март 1989 г.
Стандартное уравнение плоскости в 3-м пространстве:
Ах + By + Cz + D = 0 Нормаль к плоскости — это вектор (A, B, C). |
Учитывая три точки в пространстве (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) уравнение плоскость, проходящая через эти точки, задается следующими определителями.
Расширение приведенного выше дает
A = y1 (z2 — z3) + y2 (z3 — z1) + y3
(z1 — z2)
В = z1 (x2 — x3) + z2 (x3 — x1) + z3
(х1 — х2)
C = x1 (y2 — y3) + x2 (y3 — y1) + x3
(y1 — y2)
— D = x1
(y2 z3 — y3 z2) +
х2 (у3 z1 — y1 z3) +
x3 (y1 z2 — y2 z1)
Обратите внимание, что если точки коллинеарны, то нормаль (A, B, C), рассчитанная выше будет (0,0,0).
Знак s = Ax + By + Cz + D определяет, с какой стороны лежит точка (x, y, z). по отношению к самолету.Если s> 0, то точка лежит с той же стороны, что и нормальный (A, B, C). Если s <0, то он лежит на противоположной стороне, если s = 0 тогда точка (x, y, z) лежит на плоскости.
АльтернативноЕсли вектор N нормален к плоскости, то все точки p на плоскости самолет удовлетворяет следующим
N . p = k
где . это скалярный продукт между двумя векторами.
то есть: . b = ( x , y , z ).(b x , b y , b z ) = a x b x + a y b y + a z б г
Дана любая точка на плоскости
N . ( p — a ) = 0
Написано Полем Бурком,, февраль 2000 г. Пересечение двух плоскостей (если они не параллельны) есть линия.
Определите две плоскости с нормалями N как
N 1 . р = d 1N 2 . р = d 2
Уравнение линии можно записать как
p = c 1 N 1 + в 2 N 2 + u N 1 * N 2Где «*» — это перекрестное произведение, «.» это точечный продукт, u — параметр линии.
Взяв скалярное произведение приведенного выше на каждую нормаль, получаем два уравнения с неизвестными c 1 и c 2 .
N 1 . p = d 1 = c 1 N 1 . № 1 + c 2 N 1 . № 2N 2 . p = d 2 = c 1 N 1 . № 2 + c 2 N 2 . № 2
Решение для c 1 и c 2
c 2 = (d 2 N 1 . N 1 — d 1 N 1 . N 2 ) / определитель
определитель = ( N 1 . N 1 ) ( N 2 . N 2 ) — ( N 1 . N 2 ) 2
Обратите внимание, что сначала следует выполнить тест, чтобы убедиться, что самолеты не параллельный или совпадающий (также параллельный), это легче всего достигается с помощью проверка того, что векторное произведение двух нормалей не равно нулю. Самолеты параллельны, если
N 1 * N 2 = 0 Написано Полем БуркомОктябрь 2001
Вклад Брюса Воана в виде скрипта Python для программы проектирования SDS / 2: P3D.ру.
Пересечение трех плоскостей — это либо точка, либо линия, либо нет пересечение (любые две плоскости параллельны).
Эти три плоскости можно записать как
N 1 . р = d 1N 2 . р = d 2
N 3 . р = d 3
Выше и далее «.» означает скалярное произведение и «*» это перекрестное произведение.Точка пересечения P определяется по формуле:
d 1 ( N 2 * N 3 ) + d 2 ( N 3 * N 1 ) + d 3 ( N 1 * N 2 ) | |
П = | ————————————————— ———————— |
N 1 . ( N 2 * N 3 ) |
Знаменатель равен нулю, если N 2 * N 3 = 0, другими словами, плоскости параллельны. Или, если N 1 является линейная комбинация N 2 и N 3 .
Написано Полем Бурком,, март 2013 г.
Как можно представить линию в полярных координатах?
В декартовых координатах это можно представить как:
Вывод довольно прост, если понять, что для точки (r, theta) ось x — это просто r cos (theta), а ось y — r sin (theta).Подстановка их в уравнение для линии дает следующий результат.
Пример из графического калькулятора.
Вопрос
Дана линия, определяемая двумя точками L1 L2, точкой P1 и углом z (пеленг с севера) найти точку пересечения вектора направления от P1 к прямой.
Краткий ответ: выберите вторую точку P2 вдоль вектора направления от P1, скажем P2 = (x P1 + sin (z), y P1 + cos (z)).Примените алгоритм здесь для пересечения двух отрезков. Выполните дополнительные проверьте, что u b должно быть больше 0, решение, где u b меньше 0 — решение в направлении z + 180 градусов.
Найдите расстояние между точкой и линией
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
точек и линий | Определение | Примеры
Точки A, B, C лежат на одной прямой и коллинеарны.
Точки D и E не лежат на одной прямой, поэтому они не являются коллинеарными точками.
Найдите набор копланарных и некомпланарных точек на рисунке.
Точки A, B и C лежат в одной плоскости и, следовательно, являются копланарными точками.
Точки A, B, C и D не компланарны, поскольку точка D лежит вне плоскости.
Нарисуйте фигуру, чтобы найти точку пересечения трех прямых AB, CD и EF.
Найдите и пометьте все типы линий на рисунке ниже.
AB и CD — горизонтальные линии, поскольку они движутся слева направо.
XY — это вертикальная линия, поскольку она движется сверху вниз.
AB и CD — параллельные прямые, поскольку они не пересекаются ни в одной точке.
Прямые XY и AB пересекаются в точке О.
Линия XY перпендикулярна AB, поскольку линии составляют 90 0 друг с другом.
- Для рисования линии требуются две разные точки.
- Две точки всегда считаются коллинеарными.
- Любые три точки на плоскости называются компланарными, но не обязательно коллинеарными, поскольку они могут лежать или не лежать в одном ряду.
Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.
Подведем итоги
Урок был посвящен увлекательной концепции точек и линий. Математическое путешествие по точкам и линиям начинается с того, что ученик уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.
О компании CuemathВ Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!
Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.
Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, это логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению, в которые мы, в Cuemath, верим.
Часто задаваемые вопросы по точкам и линиям
1. Почему важны точки, линии и плоскости?
Понятия линий, точек и плоскостей важны, поскольку они составляют основу для понимания концепций геометрии.
2. Сколько точек содержится в строке?
В строке две точки. Точка, в которой начинается линия, и точка, в которой она заканчивается, — это две точки.
3. Почему точек достаточно для закрепления линий?
Для фиксации линии достаточно двух точек.
4. Как называются типы линий?
Горизонтальные, вертикальные, параллельные и перпендикулярные — это типы линий.
5. Сколько конечных точек в линии?
Линия не имеет конечной точки, так как она бесконечна в обоих направлениях.
6. Как называются точки в одной плоскости?
Линии на одной плоскости называются копланарными линиями.
7. Линия AB такая же, как и линия BA?
Да, прямые AB и BA одинаковы, потому что они обе проходят через одни и те же точки A и B.
8. Каков набор всех точек?
Набор всех точек называется локусом.
9. Какие бывают типы линий?
Горизонтальные, вертикальные, параллельные и перпендикулярные — это типы линий.
10. Как изобразить любую точку?
Точка обозначается знаком (.). Он обозначается заглавной буквой, например A, B. Читается как «точка А».
геометрических терминов — бесплатная справка по математике
Балл:
Точка указывает местоположение и не имеет размера или размера.Точка обозначается точкой и обычно обозначается выбранной буквой. На рисунке ниже точки помечены ближайшей буквой.
Строка:
Линия — это набор точек, проходящих в двух противоположных направлениях без конца. Линия одномерная и не имеет ширины. Он идентифицируется путем обозначения двух точек на линии или написания выбранной строчной буквы после строки.
Обозначение, например AB (написанное с помощью символа линии <---> над буквами), читается как «линия AB» и относится к линии, имеющей точки A и B.
Самолет:
Плоскость — это плоская поверхность, не имеющая толщины и простирающаяся без конца во ВСЕХ направлениях. Это двухмерный объект. Самолет представлен параллелограммом и может быть назван путем написания заглавной буквы выбора в одном из его углов. Я подробно расскажу о том, что такое параллелограмм, в будущих уроках. А пока подумайте о параллелограмме как о «оконном стекле». Для простоты вы можете представить себе плоскость как бесконечно большой лист бумаги.
На схеме ниже показаны три точки, линия и плоскость.
Линейный сегмент:
Линейный сегмент — это часть линии, имеющая две точки, называемые конечными точками. У него также есть точки между конечными точками. У линейного сегмента нет набора НЕПРЕРЫВНЫХ точек, как у линии. Конечная точка означает, что линия имеет начало и конец. Обозначение отрезка линии на полосе над любой буквой по выбору. Скажем, AB имеет полосу над ним, вы бы прочитали это как «отрезок AB».
Луч:
Луч — это часть линии, имеющая одну конечную точку и набор всех точек с одной стороны от конечной точки.Луч всегда обозначается двумя буквами по выбору. Первая буква должна быть конечной точкой. Над буквами рисуем стрелку с концом.
Угол:
Угол — это объединение двух лучей, имеющих одинаковую конечную точку.
Добавить комментарий